RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Satauan pendidikan :
Mata pelajaran : matamatika
Kelas /semester :
Standar kompetensi :
mamahami barisan dan deret bilangan serta penggunananya dalam masalah
Kompetensi dasar :
Menentukan pola barisan bilangan sederhana
Memcahkan masalah yang berkaitan dengan berisan dan deret
Indikator :
Mengidentifikasi dan menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan pola, barisan, deret aritmatika, dan deret geomtri
Materi pembelajaran
Barisan dan deret
Metode pembelajarn
Tanya jawab, diskusi dan pemberian tugas
Kegiatan pembelajaran
Kegiatan pendahuluan
Pada kegiatan ini guru memberitaukan tentang tujuan yang akan dicapai dalam kegiatan pembelajaran. Guru juga menceritakan tentang egitan sehari-hari yang berkaitan dengan barisan dan deret
Kegiatan inti
Eksplorasi
Guru memberikan sebuah masalah untuk diselesaikan oleh siswa untuk mengarakan siswa pada pokok bahasan yang akan dibahas
Guru bertanya :
Jika andi mempunyai satu helai kertas dan jika andi membagi menjadi 2 dan kedua kertas di gabung dan di potong menjadi 2 bagian dan digabungkan lagi berapa banyak potong kertas yang didapat oleh andi jika ia melakukan hal seperti selama 4 kali
Jawaban yang dharapkan
1 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 2 kertas
2 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 4 kertas
4 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 8 kertas
8 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 16 kertas
Berapa banyak kali andi melakukan
Merobek kertas Banyak kertas yang dihasilkan
1 2
2 4
3 8
4 16
Dari jawaban di atas guru mengarkan siswa kepada materi yang akan di ajarkan bahwa ada sesuatu yang menarik dari permasalahan diatas bahwa setiap kali andi merobek kertas akan mengasilkan kertas yang teratur seperti membentuk sebuah pola
Maka guru mengrakan siswa untuk bisa menemukan pola dari permasalahan diatas
Guru mengrakan dengan memberikan pengertian
Misalnya banyaknya kali andi merobek kertas = n
Maka
n = 1 2
n = 2 4
n = 3 8
n = 4 16
n = n 2n
Elaborasi
Guru memberikan sebuah materi yang diajarkan
Barisan bilangan
Misalnya :
3,5,7,9,11,…, n+2
2, 6, 12,20 , …,n + n2
Suku-suku bilangan : u1 , u2, u3, … merupakan barisan bilangan jika hubungan antar suku biangan yang berurutan memiliki pola tertentu
Contoh soal (soal-soal olimpiade matematika smp hal 98 no. 1 )
Seekor induk kanguru dan anaknya sedang melompat-lompat mengelilingi lapangan sapanjang 330 meter. Keduanya melompat setiap setiap detik, setiap melompat sejauh 5 meter sedangkan anaknya 2 meter. Kedua kanggru mulai melompat dari tempat dan arah yang sama . setelah 25 detik . anak kangru kelelahan dan berhenti sementara induk kanguru tatap menuruskan melompat , dari waktu ini, berapa lama induk kangru sampai kembali ketempat anaknya berhenti?
Jawaban
A = (induk kanguru) sekali lompatan 5 meter/s
B= (anak kanguru) sekali lompatan 2 meter/s
n = banyak lompatan
Panjang lapangan 330 meter
Sehingga pola yang dihasilkan waktu melompat sebagai berikut
A : 5,10,15,20,25,30,…,5n
B: 2,4,6,8,10,12,…,2n
Jika n = 25
Maka
A = 5.25=125 meter
B= 2.25 = 50 meter
Jika anak kanguru tidak melompat maka
125-50 = 75 meter, maka jarak antarandik dan anak kanguru 75 meter
Maka jika kanguru sampai ke anaknya berhenti adalah
Karena jarak lapangan adalah 330 meter maka jarak lopatan untuk samapi ke anakya adalah
330-75 = 255 meter
Karena pola melompat dari induk itu adalah 5n maka utuk mencari nilai n jika hasinya adalah 255 adalah
5n = 255
n =255/5
n = 51
jadi dibutukan waktu 51 detik untuk sampai ke anaknya yang kelelahan
untuk mengetahui sebarapa banyak siswa mengerti dengan materi yang diajarkan maka guru memberikan pertanyaan
Guru bertanya
(soal olimpiade matematika smp hal 99 no. 4)
sebuah mesin mampu memproksi 8 unit barang setiap 5 menit. Setiap 10 unit barang yang diproduksi terdapat 1 unit barang yang rusak. Berpakah unit barang yang diproduksi sebuah mesin selama 21/2 jam
Jawaban Yang Diharapkan
CARA 1 (memakai pola)
Jika ingin menemukan pola dari pertanyaan di atas adalah
Jika 5 menit = n = 1
Produksi barang = A
A = 8,15,22,29,…,8n ; syarat setiap bilangan yang diatas 10 harus dikurangkan dengan semua angka disebalah kiri angka terakhir
21/2 jam = 150 menit , maka n = 30
n = 30 8.30 =( 240) – 24 = 216
jadi ketika 21/2 jam produksi maka akan menghasilkan 216 unit barang yang baik
CARA 2 ( bekerja mundur dengan perbandingan)
21/2 jam produksi = 150 menit
5 menit maka 8 barang
150 menit maka 240 barang 150/5 = 30 x 8 = 240
Setiap 10 barang maka 1 barang akan rusak
Jika 240 maka 24 barang yang rusak sehingga 240-24 =216
jadi ketika 21/2 jam produksi maka akan menghasilkan 216 unit barang yang baik
ketika siswa telah memahami materi yang di ajarkan tentang barisan bilangan
maka guru melanjutkan tentang barisan dan deret aritmatika
Barisan Dan Deret Aritmatika
barisan dan deret aritmatika adalah barisan yang memiliki selisih tetap dua suku berurutan
guru memberikan beberapa soal untuk mengetahui deret aritmatika
tentukan
Sebuah rak buku disusun pada rak pertama hanya bisa menapung 4 buku
Rak kedua dan sterusnya bisa menapung 5 buku lebih banyak dari rak buku diatasnya jika rak itu ada 4 rak maka jumlah buku yang ada pada rak itu adalah?
Di sebuah gedung serba guna terdapat 8 kursi pada baris pertama, pada baris ke dua dan selanjutnya mendapatkan penambahan 3 kursi lebih banyak dari beris di depannya.berapa jumlah kursi pada baris ke 15?
Rak ke Jumlah buku pada rak ke
1 4 = 4 = 4 + 5 (1-1)
2 4 + 5 = 9 = 4 + 5 (2-1)
3 4 + 5 + 5 = 14 = 4 + 5 (3-1)
4 4 + 5 + 5 + 5 = 20 = 4 + 5 (4-1)
Baris ke Banyak kursi pada baris ke
1 8 = 8 + 3(1-1)
2 8 + 3 = 11= 8 + 3( 2-1)
3 8 + 3 + 3 = 14 = 8 + 3(3-1)
4 8 + 3 + 3 + 3 = 17 = 8 + 3(4-1)
n 8 + 3 + 3 + 3 + ... + n = 8 + 3(n - 1)
Jadi jika pada baris ke 15 adalah adala
n= 15 8 + 3(15-1)= 8 + 3(14) = 8 + 42 = 50
jadi jumlah kursi pada baris ke-15 adalah 50
guru mengarakan siswa bahwa dari 2 pertanyaan itu ada kesamaan dalam mencari jumlah kursi pada baris ke n
guru memberikan pemisalan bahwa baris ke pertama misalkan a , hasil pengurangan antara baris pertama dengan baris kedua adalah b dan baris ke-n mempunyai nilai adalah a + b(n - 1)
jadi untuk suku ke-n (Un) dari barisan aritmatika dapat menggunakan
guru mengarakan siswa untuk mengetahui deret aritmatika
Kita misalkan jumlah n suku deret aritmatika adalah Sn
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n-1) + n = Sn
n + (n-1) + (n-2) + (n-3 ) + (n-4) + ... + 2 + 1 = Sn
(n+ 1)+(n+ 1)+(n+ 1) +(n+ 1) +(n+ 1)+ ...+ (n+ 1)+(n+ 1) = 2Sn
n(1+n)= 2Sn
Sn = 1/2n(1+ n) karena U1 =1 dan Un = n maka
Sn = 1/2n(U1 + Un) 1/2n( a+a+b(n-1)) 1/2n(2a+ b(n-1))
Jadi untuk menentukan jumlah n suku pertamadari deret aritmatika adalah dengan rumus
atau
Barisan dan deret geometri
Barisan gometri
Barisan gometri adalah barisan bilangan yang mempunyai perbandingan atau rasiao tetap untuk dua suku berurutan
Perbandingan atau rasio tiap suku dimisalkan r dan suku pertama di misalkan a
U1 = a = ar0 =ar1-1
U2= a x r = ar1 =ar2-1
U3 = a x r x r = ar2 = ar3-1
U4 = a x r x r x r = ar3 = ar4-1
Un =a x r x r x r x r x r x ... x r =arn-1
Jadi, untuk menetukan suku ke-n dari barisan geometri adalah
Deret geometri
Bila suku-suku goemetri di jumlahkan maka terbentuk deret geometri(Sn)
Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn-1 jika Sn x r maka
Sn r = ar1 + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn-1 + arn
Sn - Snr = a - arn
Sn (1-r) = (1- rn)a
Sn = (1(1-r^n)a)/(1-r)
Jika baris kedua di kurangkan dengan baris pertama maka
Snr - Sn = -a + arn
Sn (r-1) = arn – a
Sn (r-1) = a(rn- 1)
Sn = ((r^n-1)a)/(r-1)
Jadi rumus jumlah n suku deret gomeri adalah
Untuk r <1 dan r ≠ 1
Untuk r > 1 dan r ≠ 1
Untuk memahami materi oleh siswa maka guru memberikan dua soal
Contoh soal
(Soal olempiade hal 101 no 28 sedikit di modifikasi soalnya)
Tiga buah bilangan berurutan yang berjumlah 12 suku-suku deret arit matika.
Jika bilangan yang ketiga ditambah, maka diperoleh deret geometri. Berapa hasil kali ketiga bilangan tersebut?
Jawaban
Deret aritmatika u1 + u2 + u3 = 12
Misalkan u1 = a-b
U2 = a
U3 = a+b
u1 + u2 + u3 = 12
a-b + a+a+b =12
3a =12
a= 4
deret geomerti jika u3 + 2
sehingga a-b,a,a+b+2
4-b, 4 ,6+b
4/(4-b) = 4/(4-b)
4(4) = (6+b)(4-b)
16= 24 - 6b + 4b – b2
16 = 24 – 2b – b2
b2 + 2b – 8
(b + 4)(b - 2) = 0
b1 = -4 v b2 = 2
untuk b =-4, bilangannya adalah 0,4,8 maka hail kali ketiganya adalah
0 x 4 x 8 = 0
Untuk b=2 bilangannya adalah 2,4,6 maka hasil kaki ketigannya adalah 2 x 4 x 6 = 48
Jadi, hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 0 dan 8
Untuk mengetahui kemapuan siswa dalam memahami materi ini maka guru memberikan sebuah pertanyaan
Guru bertanya
(Soal olimpiade smp hal.102 no 34)
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2,8 meter. Setiap kali bola mamantul ketinggian yang dicapainya adalah 3/4 dari ketinggiansebelumnya. Hitunglah panjang seluruh lintasan bola sampai bola tidak memantul kembali.
Jawaban yang diharapkan :
Pantulan pertama : (3/4)1 cm
Pantulan kedua : (3/4)2 cm
Pantulan ke tiga : (3/4)3 cm
Jika dilihat maka akan berbentuk sebuah deret goemetri denganm suku awal adalah a = 3/4 dan rasiaonya adalah 3/4 dan n =5
Panjang seluru lintasan bola dijatukan pertama kali ditambah panjang lintasan ketika bola naik(S5) dan panjang lintasan ketika bola turun (S4)
Sn = (a(1-r^n))/(1-r)
S5 = (3/4 〖(1- 3/4)〗^5)/(1- 3/4) = (3/4 (1- 243/1024))/(1/4) = 3(781/1024) = 2342/1024 =2 294/1024
S4 = (3/4 〖(1- 3/4)〗^4)/(1- 3/4) = (3/4 (1- 81/1024))/(1/4) = 3(943/1024) = 2829/1024 =2 781/1024
Sehingga panjang seluruh lintasan bola sampai dengan lima pantulan pertama adalah
= 1 + S5 + S4 = 1+ 2342/1024 + 2829/1024 = 1+ 5171/1024 = 6 51/256
Jadi panjang lintasan bola itu bergelinding adalah 6 51/256
Konfirmasi
Untuk mengetahui kemampuan siswa maka guru memberikan sebuah soal untuk di kerjakan sebagai tugas
(Soal olimpiade hal 102 no 35 )
Perhatikan gambar
Pada gambar diatas A1 B1 C1 D1 adalah suatu persegi dengan panjang sisi 10cm. Titik-titik A2 B2 C2 D2 adalah titik tengah A1 B1 , B1 C1, C1 D1 , dan D1 A1 , sehingga A2 B2 C2 D2 membentuk persegi, demikian seterusnya, tentukan luas persegi ke 6 dari gambar diatas
Jawaban yang diharapkan
Luas persegi ke - Luas persegi(cm2) luas Gambar yang diarsir
1 10 = 10(1/2)0 = 10(1/2)1-1
2 5 = 10(1/2)1 = 10(1/2)2-1
3 2.5 = 10( 1/( 2) )2 = 10(1/2)3-1
4 1,25 = 10( 1/( 2) )3 = 10(1/2)4-1
n 10(1/2)n-1
Tanpa gambar
maka luas persegi ke-6 dari gambar tersebut adalah
luas persegi A6 B6 C6 D6 = 10(1/2)6-1 = 10( 1/( 2) )5 = 10( 1/( 32) ) = 0, 3125 cm2
Kegiatan penutup
Guru bersama-sama perserta didik merangkumkan apa yang telah didapat
Metode Pembelajaran
Tanya jawab, diskusi, dan pemberian tugas.
Sumber belajar
Buku Siap Juara Olimpiade Matematika SMP,
Alat
Papan tulis, spidol, kertas, buku, penggaris.
Penilaian
Guru melakukan penilaian terhadap keaktifan siswa dalam kelas selama pelajaran berlangsung, hasil kerja siswa
LAMPIRAN (soal-soal yang di sarankan pak untuk dikerjakan)
Dua buah unit mesin produksi mampu membuat 18 buah boneka selama 6 jam. Berapa lama sebuah unit mesin produksi untuk membuat 21 boneka?
Jawab:
Cara 1 memakai pola
2 unit memproduksi 18 boneka selama 6 jam berarti
1 unit memproduksi 9 boneka dalam 6 jam
Dalam tabel hanya satu unit yang di produksi boneka
Banyaknya jam produksi Banyaknya boneka
1 9/6
2 18/6
3 27/6
4 36/6
n 9/6 n
Sehingga
21 boneka = 9/6 n
n= 21.6/9
n= 126/9
n = 14 jam
jadi untuk 1 unit memproduksi 21 boneka membutukan waktu 14 jam
cara 2 memakai perbandingan
misalkan banyaknya jam kerja untuk memproduksi 21 boneka adalah x.
2 unit memproduksi 18 boneka selama 6 jam berarti
1 unit memproduksi 9 boneka dalam 6 jam
Maka 1 jam 1 unit memproduksi 9/6 boneka = 3/6
Maka
21/(3/2)=x/1
21 =3/2 x
42=3x
X=42/3=14
Jadi, lamanya sebuah unit mesin produksi untuk membuat 21 boneka adalah 14 jam.
Fadhil dibayar 18$ untuk satu hari kerja dan dienakan denda 3$ perhari jika tidak masuk kerja. Apaila pada akhir hai ke-30, fadhi menerima bers 414 $, berapa hari fadhil tidak masuk kerja
Jawaban
CARA 2 bekerja mundur
30 hari bekerja gaji faldri 540$
29 hari bekerja gaji faldri 519$(dipotong 3$)
28 hari bekerja gaji faldri 498$(dipotong 6$)
27 hari bekerja gaji faldri 477$(dipotong 9$)
26 hari bekerja gaji faldri 456$(dipotong 12$)
25 hari bekerja gaji faldri 435$(dipotong 15$)
26 hari bekerja gaji faldri 414$(dipotong18$)
Jadi total hari faldri tidak bekerja adalah 6 hari
Jamie dan Kevin berjalan dari rumah mereka Menuju taman dan kembali ke rumah tanpa berhenti. Jarak yang mereka tempuh adalah 24 km. jika Jamie berjalan dua kali lebih cepat dari Kevin dan keduanya berangkat dari rumah yang sama, hitunglah jarak dari rumah saat Jamie dan Kevin bertemu berpapasan pertama kali?
Jawab
memakai tabel
ket: jemi berjalan lebih 2 kali lebih cepat dari kevin
perjalan dari rumah mereka ke taman
Kevin(Km) Jemi(km)
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12 (jemi telah sampai ke taman dan akan balik ke rumah)
7 14
8 16 (jemi berpapasan dengan kevin pada jarak 8 km dari rumah mereka)
Kevin berpasan dengan jimi pada km 8 dari rumah mereka karena jarak yang ditempuh dari rumah ke taman dan balik ke rumah adalah 24 km
Sehingga 16km + 8 km = 24 km
Ketika jemie balik dari taman ke rumah
Ani, Btari, dan Cut Lisa bekerja bersama dan menerima gaji seluruhnya Rp2.620.000. Ani menerima 125% dari gaji Btari atau sama dengan 90% gaji Cut Lisa. Berapa gaji Cut Lisa?
Jawab:
Misalkan gaji Ani = a, gaji Btari = B, dan gaji Cut lisa= C.
Dimana gaji Ani 125% dari gaji Btari atau 90% dari gaji Cut lisa, yaitu
A = 125% B = 90% C sehingga
125/100 B=90/100 C
12500B=9000C
B=9000/12500 C
B=90/125 C
Jumlah seluruh gaji Ani, Btari, dan Cut Lisa adalah Rp2.620.000. sehingga gaji Cut Lisa dapat kita cari :
2.620.000=A+B+C
2.620.000= 9/10 C+90/125 C+C
2.620.000= (225 C+150 C+250 C)/250
2.620.000= 655/250 C
2.620.000=2,62 C
C=2.620.000/2,62
C=1.000.000
Jadi, besar gaji Cut Lisa adalah Rp1.000.000
Seekor ikan memiliki ekor sepanjang kepalanya ditambah seperempat panjang tubuhnya. Tubuhnya tiga per empat dari panjang keseluruhan. Jika panjang kepala ikan 10 cm, hitunglah panjang keseluruhan ikan!
Jawab:
Misalkan panjang seluruh ikan = S, badan ikan =B
Panjang kepala ikan = 10 cm
Panjang ekor ikan = 10 cm + 1/4 badan ikan
Badan ikan panjangnya = 3/4 dari panjang seluruh ikan
Sehingga panjang seluruh ikan dapat kita cari yaitu :
S = panjang kepala ikan + panjang ekor ikan + panjang badan ikan
S = 10 cm + (10 cm + 1/4 B) + B
S = 10 cm + 10 cm + 1/4 (3/4 S)+ 3/4 S
S = 20 cm + 15/16 S
20 cm = S -15/16 S
20 cm = 1/16 S
S = 20 cm x 16
S = 320 cm
Jadi, panjang keseluruhan ikan adalah 320 cm.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar