RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI/ I
Alokasi Waktu : 4x45(2 kali pertemuan )
Standar Kompetensi :
Memberi tafsiran, menyusun dan menggunakan kaida penccahan dalam menentukan banyak kemungkinan dan menggunakan anturan peluang dalam menemtukan dan menafsirkan peluang kejadian majemuk
Kompetensi Dasar :
Kemampuan menyusun dan menggunakan aturan perkalian, permutasi, kombinasi dalm memcahkan masalah, serta merusmuskan dan menentukan peluang kejadian dari berbagai situasi sarta tafsirannya
Indikator :
siswa dapat
1. menyusun aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
2. menggunakan aturan perkalian, permutasi, kombinasi dalam pemecahan soal
3. menentukan banyaknya kemungkinan kejadian berbagai situasi
4. menentukan dan menafsirkan peluang kejadian dari berbagai situasi.
Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat menyusun aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
Siswa dapat menggunakan aturan perkalian, permutasi, kombinasi dalam pemecahan saol
Siswa dapat menentukan banyaknya kemungkinan kejadian berbagai situasi
Siswa dapat menentukan dan menafsirkan peluang kejadian dari berbagai situasi.
Metode Pembelajaran
Tanya jawab, diskusi dan pemberian tugas, ceramah
Kegiatan pembelajaran
Pertemuan pertama
Kegiatan pendahuluan
Guru menjelaskan tujuan dari pembelajaran yang harus di capai siswa dalam kegiatan belajar mengajar pada pokok bahasan tentang peluang
Misalnya : jika tujuan balajar tercapai jika siswa dapat memahami perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam masalah sehari-hari
Guru juga memberikan motivasi kepada sisiwa tentang manfaat dari peluang dalam kehidupan sehari –hari
Misalnya : Bagaimana yang bekerja di BMG ( Badan meteorologi dan geofisika ) dapat meramalka cuaca setiap hari
Kegiantan inti
Eksplorasi
Guru meminta seorang siswa untuk melemparkan koin logam dan menagkap kembali dengan posisi tangan mengadap keatas, sebelum siswa itu membuka tangan maka guru bertanya kepada murid-murid
Guru bertanya :
kemungkinan muncul sisi mata uang yang mana dalam lemparan ini ketika tangan akan dibuka mengadap ke atas?
Jawaban yang di harapkan
Gambar atau angka
Dari jawaban siswa guru memberikan kesimpulan bahwa dalam pelemparan koin ada dua kemungkinana dalam sekali lepar karena pada koin itu hanya ada dua kemugkinan yaitu gambar atau angka. Untuk megecek kemampaun siswa seberapa besar mengerti percobaan yang di lakukan maka guru memberikan pertanyaan
Guru bertanya
Peluang munculnya angka AS dalam percobaan mengambil kartu bridge?
Jawaban yang di harapkan
Karena pada kartu bridge ada 52 dan kartu AS ada 4 maka peluang dalam sekali percobaan pengambblian satu kartu adalah 4/52 atau 1/13
Elaborasi
Dari jawaban yang di beikan siswa maka guru membimbing siswa untuk masuk pada materi yag harus di kuasi siwa dengan cara meberikan penjelasan berupa materi dari peluang dan contah-contoh untuk menambah pemahaman siswa terhadap peluang
Kaidah pencacahan
Pengisian tempat (Filing Slots)
Contohnya
Dari lima buah angka 4,5,6,7,8 hendak di susun bilangan genap yang terdiri atas tiga angka. Berapa banyaknya bilangan yang dapt disusun jika angka-angka itu :
Boleh ada yang sama
Tidak boleh ada yang sama
Jawab
Angka pertama (ratusan) dapat memlih 5 angka, angka kedua (puluhan) dapat memlih 5 angka, angka ketiga (satuan) hanya dapat memlih 3 angka yaitu 4,6,8. Jadi banyaknya bilangan genap yang dapat di susun adalah sebanyak 5 x 5 x 3 = 75 bilangan
Karena angka-angka tidak boleh diulang, maka kita mulai dari angka satuan. Angka ketiga (satuan) dapat di pilih 3 angka. Angka kedua (puluhan) dapat di pilih 4 angka. Angka pertama (ratusan) dapat di pilih 3 angka. Jadi, banyaknya bilangan genap yang dapat disusun sebanyak 3 x 4 x 3 = 36 bilangan.
Kaidah penjumlahan dilakuakan jika kedua unsur yang tersedia tidak dipilih atau digunakan secara bersama-sama
Contohnya
Misanya dirumah itu trdapat 2 buah sepeda motor dan 3 buah sepeda. Ada berapah carakah kamu pergi ke sekiloah dengan kendaraan tersebut?
Jawab
Banyaknya cara pergi ke sekolah dengan kendaraan tersebut adalah 2 + 3 = 5
Kaidah perkalian
Kaidah perkalian dilakuakan apabila unsur-unsur yang tersedia digunakan secara bersama-sama.
Contohnya
seorang yang hendak bepergian dari kota A ke kota Q. Dari kota A ke kota Q, mereka dapat melalui kota B dan kota c. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan dan dari kota B ke kota Q ada 4 jalan sedangkan dari kota A ke kota C ada 2 jalan dan dari kota C ke kota Q ada 5 jalan. Ada berapakah jaluar yang dapat ditempuh dari kota Ake kota Q ?
Jawab
Banyaknya jalan dari kota A ke kota Q melalui kota B = 3 x 4 = 12 jalan
Banyaknya jaln dari kota A ke kota Q melalui kota C = 2 x 5 = 10
Jadi, seluruh jalan yang dapat ditempuh dari kota A ke kota Q adalah : 12 + 10 = 22 jalan.
Sebelum melanjutkan materi maka guru menguji kemampuan siswa dalam menyerap materi yang di ajarkan dengan memberikan pertanyaan
Guru bertanya
Berapa banyaknya pasangan pakaian yang dapat dipakai Tono bila ia mempunayi 6 buah celana, 3 kaos oblong, 4 pasang koas kaki, serta 2 pasang sepatu olahraga?
Jawaban yang di harapkan
Untuk mendapatkan banyaknya pakayan adalah dengan cara menglikan semua pakayan yang akan bias adi pakai
6 x 3 x 4 x 2 = 144 pasngan pakayan yang bisa di pakai Tono
Guru bertanya
Berapa banyak bilangan ratusan yang dapat disusun dari angka-angka {0,1,2,3,4,5,6} tanpa pengulangan?
Jawaban yang diharapkan
Untuk memlih angka ratusan dari ke 7 angka yang ada, kita dapat memlih angka {1,2,3,4,56,} saja. Hal ini disebabkan karan 0 tidak mungkin ditempatkan pada posisi ratusan. Jadi untuk angka ratusan , ada 6 cara.
Jika salah satu angka sudah ditempatkan pada posisi ratusan, maka posisi puluhandapat ditempatkan dengan 6 cara (diambil dari angka 0 ditambah sisa dari ke-6 angka yang telah dipakai )
Posisi satuan dapat ditempatkan dengan 5 cara (diambil 7 angka yang telah dipakai 2 angka).
Jadi, secarah keseluruhanbanyaknya bilangan ratusan yang dapat disusun adalah 6 x 6 x 5 = bilnagan yang berbeda.
Permutasi
Defenisi dan notasi faktorial
Untuk tiap n bilangan asli, didefenisikan : n! = n x (n-1) x . . . x 3 x 2 x 1
Notasi n! Dibaca n faktorial.
Catatan ; 1!= 1 ; 0! = 1
Contohnya
7!/5!
Jawab
7.6.5.4.3.2.1/5.4.3.2.1= 7.6=42
Permutasi
Secarah umum banyaknya permutasi dari n objek diambil rdinotasikan nPr atau Prn atau P(n, r) adalah nPr=n!/(n-r)! ; r ≤ n. Jika r = n maka nPr = n!
Contohnya
Berapa banyaknya bilangan yag terdiri dari 2 angka yang dibentuk dari angka-angka 3, 4, dan 5
Jawab
N = 3 dan k = 2, maka banyaknya bilangan yang dapat dicari adalah
2P2 = 3!/(3-2)!= 3.2.1/1=6
Permutasi yang memuat bebrepa unsur yang sama
Banyaknya permutasi dari n obyyang memuat k, l dan m obyek yang sama diambil semua, maka banyaknya permutasi :
P = n!/k!l!m! catatan : susunannya memperhatikan urutan (ab ≠ ba)
Contohnya
Ada berapa banyaknya kata yang dapat dibentuk dari huruf S, A, dan S?
Jawab
N = 3, huruf S = 2, huruf A = 1, maka
P = 3!/2!= 3.2.1/2.1 = 3
Jika permutasi dari n objek yang memuat k, l, dan m objek, maka banyaknya permutasi adalah
P = n!/(n-r)!k!l!m!
Permutasi siklis
Permutasi dari n objek yang berbeda yang di susun melingkar adalah :
P(siklis)= (n-1)!
Contohnya
Terdapat 3 anak yang aka mengadakan bejar bersama pada sebuah meja bundar. Ada berapa cara mereka dapat duduk dengan megelilingi meja tersebut ?
Jawab
Misal 3 anak : A, B, C . n = 3 maka,
P (siklis) = (3-1)!
= 2! = 2.1 = 2
Jadi cara mereka dapat duduk untuk menglilingi meja itu adalah 2 cara
Sebelum melanjutkan materi maka guru menguji kemampuan siswa dalam menyerap materi yang di ajarkan dengan memberikan pertanyaan
Guru bertanya
Berapa banyak permutasi jika kumpulan angka {1,2,3,4,5,6} dipermutasikan seluruhnya?
Apabila dari tiga unsur {a,b,c} dipermutasikan dua-dua, maka berapa banyak permutasinya?
Jawaban yang diharapkan
Kasus ini sama halnya kita menyususn bilangan yang terdiri dari lima angka dari 5 angka yang diketahui
Jadi, P(5,5)= P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120permutasi.
Hasil dari permutasi dua unsur {a,b,c} adalah
Jadi, banyaknya permutasi P(3,2) = 3.2 = 3 (3-1) = 6
Kombinasi
Pengertian kombinasi
Kombinasi adalah suatu susunan unsur-unsur dari sekumpulan unsur dengan tanpa memperhatikan urutannya.
Secara umum banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda diambil r objek yang berbeda dapat di notasikan dengan
n C r = n!/(n-r)!r!1 ; dengan catatan r ≤ n.
Contohnya
Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dan5 kelereng kuning. Dari kantong itu di ambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Ada berapa cara pengembilan, jika kelereng yang di ambil :
Ketiganya berwarna merah
2 kelereng merah dan 1 kelereng kuning
Bebas warnanya
Jawab
Banyaknya cara pengmbilan tiga kelereng merah adalah :
7C3 = 7!/(7-3)!3!=7!/( 4!3!)= 7.6.5/3.2.1=35
Banyaknya cara pengambilan 2 kelereng merah dan 1 kelereng kuning adalah
7C2 x 5C1 = 7!/5!2! x 5!/4!1!= 7.6/2.1 x 5/1 = 105
Banyaknya cara pengambilan dengan warna bebas adalah
12C3= 12!/9!3!= 12.11.10/3.2.1 = 220
Hubungan permutasi dan kombinasi
Telah dipelajari bahwa himpunan {a,b} dan {b,a} menyatakan himpunan yang sama, yang berarti keduanya merupakan kombinasi yang sama. Sementara itu pasangan ab dan ba menunjukan urutan yang berbeda yang berarti pemutasi yang berbeda.
Mengingat bahwa pada kombinasi tidak memperhatikan urutan, sehingga setiap kombinasi r unsur dapat dibuat permutasi/urutan sebanyak k.
Sehingga berlaku rumus:
nCr = n!/(n-r)r = nPr/r!
Contohnya
Tentukan nilai n, jika:
nC4 = nP3
5n Pr = 24 nC4
Jawab
n!/(n-4)4! = n!/(n-3)!
1/(n-4)!4! = 1/(n-3)(n-4)!
4! = n-3
n = 4.3.2.1 +3
n = 25
5. n!/((n-3)) = 24. n!/(n-4)!4!
5/((n-3)(n-4)) = 24/(n-4)!24
5/((n-3) ) = 1/1
n-3= 5
n = 8
Sebelum melanjutkan materi maka guru menguji kemampuan siswa dalam menyerap materi yang di ajarkan dengan memberikan pertanyaan
Guru bertanya
Suatu tim panitia terdiri dari emapt orang, dipilih dari 9 orang laki-laki dan 6 orang wanita. Berapa banyak panitia panitia yang berbeda dapat dibentuk jika :
Tanpa ada syarat lain
Syarat : tim itu terdiri dari 2 laki-laki dan 2 wanita.
Syarat : keempat orang itu tidak boleh laki-laki saja atauwanita saja
Jawaban yang diharapkan
Karana tidak ada syarat, berarti keempat orang itu bebas di pilih dari (9 + 6) = 15 orang yang ada.
Jadi, ada C (15,4) = 15!/4!11!=1.365 cara memilih
Harus dipilih 2 dari 9 orang laki-laki dan 3 dari 6 orang wanita yang ada.
Jadi, ada C(9,2) x C(6,2) = 36 x 15 = 540 cara
Jika tim itu terdiri dari :
Laki-laki saja, maka ada (9,2) = 126 cara
Wanita saja, maka ada (6,4) = 15 cara
Dalam kasus ini, kemungkinan 4L dan 4W dihilangkan dari keseluruhan hasil yang mungkin.
Jadi, banyaknya cara membentuk tim adalah
C(15,4) – (C(9,4) + C(6,4)) = 1.355 – (126-15) = 1.224
Konfirmasi
Untuk mengidentifikasi kemapuan siswa dalam mamahami materi yang baru di ceramakan maka guru memberikan soal diskusi yang di kerjakan bersama teman semejah yang akan di presentasikan
Soal diskusi
Pada peristiwa pemilihan ketua dan sekertaris OSIS di sekolah yang terdiri dari 4 calon untuk ketua dan 5 calon untuk sekertaris. Berapa banyak kemungkinan memilih untuk menduduki jabatan ketua dan sekertasis OSIS?
Lima orang laki-laki (L) dan tiga orang wanita (W) akan duduk pada delapan kursi yang tidak melingkar.
Berapa banyak kemungkinan atau cara mereka duduk?
Berapa banyak cara mereka duduk, jika laki-laki dan wanita harus duduk mengelompok?
Berapa banyakcara mereka duduk, jika hanya wanita yang mengelompok?
Berapa banyak permutasi (susunan huruf berbeda) yang dapat disusun dari unsur-unsur pada kata “mamalia” bila
Tanpa syarat tambahan
Huruf terakhir selalu a
Jawaban diskusi yang diharapkan
Ada 4 cara untuk memilih ketua dari ke-4 calon ketua, dan ada 5 cara untuk memilih sekertaris dari ke-5 calon sekertaris tersebut
4 (cara pemiliahan ketua) x 5(cara pemiliahan sekertaris) = 20 cara pemilihan
Jadi, secara bersama-sama peristiwa pemilihan itu dapat dipilih dalaim 20 cara yang mungkin
a. Kasus ini bebas tanpa syarat, berarti 8 orang duduk di kursi
ada P8 = 8! = 40.320 cara.
b. Ada dua kemungkinan mereka berkelompok yaitu
5L 3W atau 3W 5L sehingga
5!.3! + 3!.5! jadi ada 2. 5!3! = 1.440 cara
c. andaikan kelompok ketiga wanita adalah X maka
L L L L L X
6!
Jadi, ada 6!3! = 4.320 cara
a. “mamalia” ada n = 7 huruf, huruf(m) ada 2, huruf (a) ada 3, huruf (l) ada 1, huruf (i) ada 1
jadi, banyak permutasi ada P(7; 2.3.1.1) = 7!/2!3!1!1! = 420.
b. kareana huruf terakhir telah ditetapkan selalu huruf “a” maka sisa n = 6 huruf .
terdiri dari 2 huruf m, 2 huruf a, ada huruf l dan i masing-masing 1.
Jadi banyak permutasi ada P(6; 2.2.1.1) 6!/2!2!1!1! = 180.
Kegiatan penutup
Guru bersama-sama perserta didik merangkupkan apa yang telah didapat
Guru menjelaskan tentang tujuan pokok bahasan untuk pertemuan yang akan datang
Guru memberikan pekerjaan rumah (PR) untuk di kerjakan oleh siswa di rumah dengan maksutd untuk mengingat kembali materi yang telah didapat
Pekerjaan rumah (PR)
Pekerjaan rumah kali ini hanya siswa di suruh untuk mencari masalah-masalah dalam kehidupan sehari hari terlebih dirumah tentang masalah peluang
Jawaban yang diharapkan
Jika seorang teman bermain memberikan kelerang 2 kelerang dan teman anda mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 4 kelerang kuning. Masalah peluangnya berapa kemungkinan anda mendapatkan 1 keleng kuning dan 1 kelereng merah
Pertemuan kedua
Kegiatan pendahuluan
Guru mengigngatkan kembali materi pertemuan pertama dengan membrikan sebuah soal yang di kerjakan selama 5 menit.
Soal
Berapa banyak permutasi jika tujuh unsur{a,b,c,d,e,f,g} dipermutasikan tiga-tiga
Jawab
n = 7 dan k= 3
P(7,3) = 7!/(7-3)!= 7!/4! = 7.6.5.4!/4! = 7 x 6 x 5 = 210
Guru meminta siswa untuk mengumpulkan tugas pekerjaan rumah (PR) pada pertemuan pertama
Kegiatan inti
Eksplorasi
Guru menjelaskan mengapa Ia harus menyuruh murid-murid mengerjakan tugas tentang masalah peluang dalam kehidupan sehari-hari agar muridnya banyak masalah kehidupanyang berkaitan dengan peluang terlebih seuatu kejadian yang kemungkianan biasa terjadi dalam kehidupan sehari-hari misalnya Jika seorang teman bermain memberikan kelerang 2 kelerang dan teman anda mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 4 kelerang kuning. Guru menjelaskan tentang masalah ini dengam masalah peluang adalah berapa kemungkinan anda mendapatkan 1 kelereng kuning dan 1 kelereng merah , dari permasalahan ini maka guru mengarakan pada materi yang akan di ajarkan
Elaborasi
Guru membimbing siswa dengan memberikan matetri tentang pakok bahasan peluang pada sub pokok bahasan peluang suatu kejadian untuk mengrakan siswa untuk lebih mengerti tentang pokok bahsan ini maka di berikan dengan contoh soal.
Peluang suatu kejadian
Pengertian ruang sampel dan kejadian
Percobaan adalah tindakan atu kegiatan yng dapat diulang dengan keadaan yang sama yang hasilnya merupakan salah satu anggota himpunan tertentu.
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mengkin pada suatu percobaan yang di lambangkan dengan “S”.
Kejadian adalah himpunan bagian dari raung sampel.
Defenisi peluang
Misal A suatu kejadian dan S adalah ruang sampel, A c S, maka peluang kejadian A didefenisikan dengan
P(A) = (n(A))/(n(S)) ; keterangan: n(A) = banyaknya anggota A, n(S) = banyaknya anggota S.
Contohnya
Terdapat 8 kartu yang diberi nomor 1 sampai dengan 8. Jika diambil dari kartu 2 kartu secara acak dari kartu itu. Berapa peluangnya terambil 2 kartu dengan nomor bilangan prima?
Jawab
A = kartu bernomor bilangan prima : 2,3,5,7
2 kartu diambil dari kartu bernomor bilangan prima
n(A) = 4C2 = 6 cara
S = kartu bernomor : 1,2,3,4,5,6,7,8
2 kartu diambil dari 8 kartu n(S) = 8C2 28 cara
P(A) = (n(A))/(n(s))= 6/28= 3/14
Catatan
Kisaran nilai peluang 0 ≤ P(A) ≤ 1
Jika P(A) = 0 disebut kejadian yang mustahil
Jika P(A) = 1 disebut kejadian yang pasti
Peluang komplemen suatu kejadian
Andaikan S adalah raung sampel sautu kejadian dan n(S) = n . misalkan A adalah suatu di dalam rauang sampel dengan n (A) = k, dan Ac adalah komponen, maka
n(Ac) = n(S) – n(A)
= n – k
Sehingga
P(Ac) = (n(Ac))/(n(S)) atau P(Ac) = 1- P(A) atau P(A) + P(Ac) = 1
Contohnya
Sebauh dadu dilempar sekali. Berapakah peluang kejadian munculnya bilangan bukan ganjil?
Jawab
A = kejadian munculnya bilangan ganjil adalah {1,3,5} n(A) = 3
Ac = kejadian munculnya bilangan bukan ganjil {2,4,6} n(Ac) = 3
S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6
P(Ac) = 1- P(A)
= 1- ½
= ½
Kejadian majemuk
Misalkan A dan B adalah dua kejadian sembarangan yang terdapat dalam rauang sampel S, maka peluang kejadian A atau kejadian B adalah
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Keterangan
P(A ∪ B) = peluang kejadian A atau kejagian B
P(A) = peluang kejadian A
P(B) = pelang kejadian B
P(A∩B) = peluang kejadian A dan B
Contohnya
Sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Berapa peluang munculnya mata dadu bilang prima atau bilangan genap?
Jawab
S = {1,2,3,4,5,6} ; n(S)= 6
A = kejadian munculnya mata dadu bilanga prima. A = {2,3,5} ; n(A) = 3
B = kejadian munculnya mata dadu bilangan genap. B = {2,4,6} ; n(B) = 3
A∩B = kejadian munculnya bilangan mata dadu bilangan prima dan bilangan genap
A∩B = 2 ; n(A∩B) = 1
P (A∪B) = P(A) + P (B) – P(A∩B)
= (n(A))/(n(S))+ (n(B))/(n(S))- (n(A∩B))/(n(S))
= 3/6+ 3/6-1/6
= 5/6
Dua kejadian saling lepas
Dalam suatu percobaan kejadian A dan kejadian B di katakan saling lepas apblia kejadian A dan kejadian B tidak mungkin terjadi bersama- sama A ∩ B = ∅. jika A dan B dua kejadian saling lepas, maka nilai peluang kejadian A atau B adalah
P(A∪B) = P(A) + P (B)
Contohnya
Pada percobaan melempar sebuah dadu A adalah kejadian muncul mata dadu kurang dari 3. B adalah kejadian mucul mata dadu genap yang habis di bagi 3 . tentukan peluang kejadian A atau B?
Jawab
S = {1,2,3,4,5,6} ; n(S) = 6
A = kejadian munculnya mata dadu kurang dari 3 = {1,2} ; n(A) = 2
B = kejadian munculnya mata dadu genap yang habis dibagi 3 = {6} ; n(B) = 1
A∩b = {}
P(A∪B) = P(A) + P(B)
= (n(A))/(n(S))+ (n(B))/(n(S))
= 2/6+ 1/6 = 3/6= 1/2
Dua kejadian saling bebas
Pada suatu percobaan, kejadian A dan kejadian B di sebut kejadian saling bebas, apabila kejadian A tidak mempengruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya. A dan B adalah dua kejadian saling bebas jika dan hanya jika : P(A∩B) = P(A).P(B)
Contohnya
Pada percobaan melempar dua dadu (merah dan putih). A adalah kejadian dadu merah muncul mata dadu genap dan B adalh kejadian dadu putih muncul kurang dari dua. Tentukan peluang kejadian A dan B
Jawab
Hasil percobaan dua dadu sebagai berikut
P
M 1 2 3 4 5 6
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
n(S) = 36
n(A) = 18
n(B) = 6
P(A∩B)= P(A).P(B)
= 18/36 x 6/36
= 1/2+ 1/6
= 1/12
Catatan
2 kejadian saling lepas tidak sama dengan dua kejadian saling bebas karena
Dua kejadian lepas adalah kejadian A dan B tidak mungkin terjadi bersama-sama sehingga A ∩ B = ϕ.
Contoh :
Percobaan melempar dadu dengan kejadian A adalah mata dadu yang muncul angka yang habis di bagi 3dan kajadian 4 munculnya mata dadu yang kurang dari 2
Dua kejadian saling adalah kejadian A tidak mempengruhi kejadian B meskipun terjadi bersama-sama
Contoh :
Percobaan melempar 2 dadu secara bersama-sama, kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu berangka genap pada dadu A. Kejadian B adalah kejadian munculnya mat dadu berangka kurang dari 3
Kejadian bersyarat jika kejadian A dan B dapat terjadi bersama-sama, dimana terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Kejadian tersebut dinamakan kejadian saling bergantungan atau kejadian tidak bebas atau kejadian bersyarat.
Puluang munculnya Kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul adalah :
P(A\B) = (P(A∩B))/(P(S)) ; syarat P(B) ≠ 0
Puluang munculnya Kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul adalah :
P(B\A) = (P(A∩B))/(P(S)) ; syarat P(A) ≠ 0
Contohnya
Sebuah dadu dilempar satu kali. Hitunglah peluang munculnya bilangan ganjil, bila diketahui telah muncul bilangan prima?
Jawab
A = kejadian munculnya bilangan ganjil = {1,3,5}
P(A) = 3/6
B = kejadian munculnya bilangan prima = {2,3,5}
P(B) = 3/6
A∩B = {3,5} ; P(A∩B) = 2/6
P(A\B) = (P(A∩B))/(P(S))
= (2/6)/(3/6) = 2/3
Konfirmasi
Untuk mengidentifikasi kemapuan siswa dalam mamahami materi yang baru di ceramakan maka guru memberikan tugas
Tugas
Pada percobaan melambungkan sebauh dadu sisi enam, tentuakn pelang untuk mendapatkan angka lebih dari 4.
Jika sebiji kelereng dikeluarkan dari sebuah kantong yang berisi 1 kekereng berwarna merah (M), 6 kelerng berwarna kuning (K), dan 4 kelereng berwarna biru?
Empat lembar kartu ditarik secara acak dari 52 kartu bridge. Tentukan peluang
Semua kartu yang terpilih adalah kartu hati
Kartu yang terpilih sebagian berwarna merah dsan sebagian berwarna hitam.
Jawaban yang diharapkan
Ruang contoh percobaan : S = {1,2,3,4,5,6} dan n(S) = 6
misalkan E = {kejadian yang diharapkan}
= {mendapatkan angka lebih dari 4}
= {5,6} dan n(E) = 2
P(E) = (n(E))/(n(S))=2/6= 1/3
Jadi peluang mendapatkan angka lebh dari 4 adalah 1/3
Dengan cara kombinasi. Mengeluarkan 1 kelereng dari 11 kereng, maka ada C(11,1) = 11 cara
Ada 4 kereng biru dan dikeluarkan 1, maka ada (4,1) = 4 cara
Peluang mengeluarkan 1 kelereng biru = (C(4,1))/(C(11,1))=4/11
jadi peluang terambil satu kelerng biru adalah 4/11
Ruang contoh kejadian menarik 4 kartu dari 52 kartu, ada C(52,4) = 270.725
n(S) = C(52,4) = 270.725
Kartu hati ada 13 maka,
E1 = {kejadian memilih 4 kartu hati dari 13 kartu hati}
n(E1) = C(13,4) = 715
jadi P(E1) = (n(E1))/(n(S))= (C(13,4))/(C(52,4))= 715/270.725= 0,003
Ada 26 kartu berwarna merah dan 26 kartu berwarna hitam, masing-masing ditarik 2 lembar.
E2 = {kejadian memilih 2 kartu merah dan 2 kartu hitam}
Memilih 2 kartu dari 26 kartu merah ada C(26,2) = 325.
Memilih 2 kartu dari 26 kartu hitam ada C(26,2) = 325.
Maka n(E2) = C(26,2) x C(26,2)
= 105.625.
Jadi, P(E2) = (n(E2))/(n(S)) = (C(26,2) X C(26,2))/(C(52,4)) = 105.625/270.725 = 0,39.
Kegiatan penutup
Guru bersama-sama perserta didik merangkupkan apa yang telah didapat
Sumber
Matematika SMA untuk kelas XI; karangan B.K. NOORMNDIRI; penerbit Erlangga
LKS Matematiaka SMA untuk kelas XI\I IPA; penerbit intan pariwara
Penilaian
Guru memberikan penilaian terhadap keaktifan siswa dalam kelas selama pelajaran berlangsung, hasil kerja siswa melalui diskusi, tugas dan pekerjaan rumah(PR) yang diberikan.
Senin, 21 Februari 2011
Pencana Pengajaran Pembelajaran (RPP) MATEMATIKA
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Satauan pendidikan :
Mata pelajaran : matamatika
Kelas /semester :
Standar kompetensi :
mamahami barisan dan deret bilangan serta penggunananya dalam masalah
Kompetensi dasar :
Menentukan pola barisan bilangan sederhana
Memcahkan masalah yang berkaitan dengan berisan dan deret
Indikator :
Mengidentifikasi dan menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan pola, barisan, deret aritmatika, dan deret geomtri
Materi pembelajaran
Barisan dan deret
Metode pembelajarn
Tanya jawab, diskusi dan pemberian tugas
Kegiatan pembelajaran
Kegiatan pendahuluan
Pada kegiatan ini guru memberitaukan tentang tujuan yang akan dicapai dalam kegiatan pembelajaran. Guru juga menceritakan tentang egitan sehari-hari yang berkaitan dengan barisan dan deret
Kegiatan inti
Eksplorasi
Guru memberikan sebuah masalah untuk diselesaikan oleh siswa untuk mengarakan siswa pada pokok bahasan yang akan dibahas
Guru bertanya :
Jika andi mempunyai satu helai kertas dan jika andi membagi menjadi 2 dan kedua kertas di gabung dan di potong menjadi 2 bagian dan digabungkan lagi berapa banyak potong kertas yang didapat oleh andi jika ia melakukan hal seperti selama 4 kali
Jawaban yang dharapkan
1 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 2 kertas
2 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 4 kertas
4 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 8 kertas
8 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 16 kertas
Berapa banyak kali andi melakukan
Merobek kertas Banyak kertas yang dihasilkan
1 2
2 4
3 8
4 16
Dari jawaban di atas guru mengarkan siswa kepada materi yang akan di ajarkan bahwa ada sesuatu yang menarik dari permasalahan diatas bahwa setiap kali andi merobek kertas akan mengasilkan kertas yang teratur seperti membentuk sebuah pola
Maka guru mengrakan siswa untuk bisa menemukan pola dari permasalahan diatas
Guru mengrakan dengan memberikan pengertian
Misalnya banyaknya kali andi merobek kertas = n
Maka
n = 1 2
n = 2 4
n = 3 8
n = 4 16
n = n 2n
Elaborasi
Guru memberikan sebuah materi yang diajarkan
Barisan bilangan
Misalnya :
3,5,7,9,11,…, n+2
2, 6, 12,20 , …,n + n2
Suku-suku bilangan : u1 , u2, u3, … merupakan barisan bilangan jika hubungan antar suku biangan yang berurutan memiliki pola tertentu
Contoh soal (soal-soal olimpiade matematika smp hal 98 no. 1 )
Seekor induk kanguru dan anaknya sedang melompat-lompat mengelilingi lapangan sapanjang 330 meter. Keduanya melompat setiap setiap detik, setiap melompat sejauh 5 meter sedangkan anaknya 2 meter. Kedua kanggru mulai melompat dari tempat dan arah yang sama . setelah 25 detik . anak kangru kelelahan dan berhenti sementara induk kanguru tatap menuruskan melompat , dari waktu ini, berapa lama induk kangru sampai kembali ketempat anaknya berhenti?
Jawaban
A = (induk kanguru) sekali lompatan 5 meter/s
B= (anak kanguru) sekali lompatan 2 meter/s
n = banyak lompatan
Panjang lapangan 330 meter
Sehingga pola yang dihasilkan waktu melompat sebagai berikut
A : 5,10,15,20,25,30,…,5n
B: 2,4,6,8,10,12,…,2n
Jika n = 25
Maka
A = 5.25=125 meter
B= 2.25 = 50 meter
Jika anak kanguru tidak melompat maka
125-50 = 75 meter, maka jarak antarandik dan anak kanguru 75 meter
Maka jika kanguru sampai ke anaknya berhenti adalah
Karena jarak lapangan adalah 330 meter maka jarak lopatan untuk samapi ke anakya adalah
330-75 = 255 meter
Karena pola melompat dari induk itu adalah 5n maka utuk mencari nilai n jika hasinya adalah 255 adalah
5n = 255
n =255/5
n = 51
jadi dibutukan waktu 51 detik untuk sampai ke anaknya yang kelelahan
untuk mengetahui sebarapa banyak siswa mengerti dengan materi yang diajarkan maka guru memberikan pertanyaan
Guru bertanya
(soal olimpiade matematika smp hal 99 no. 4)
sebuah mesin mampu memproksi 8 unit barang setiap 5 menit. Setiap 10 unit barang yang diproduksi terdapat 1 unit barang yang rusak. Berpakah unit barang yang diproduksi sebuah mesin selama 21/2 jam
Jawaban Yang Diharapkan
CARA 1 (memakai pola)
Jika ingin menemukan pola dari pertanyaan di atas adalah
Jika 5 menit = n = 1
Produksi barang = A
A = 8,15,22,29,…,8n ; syarat setiap bilangan yang diatas 10 harus dikurangkan dengan semua angka disebalah kiri angka terakhir
21/2 jam = 150 menit , maka n = 30
n = 30 8.30 =( 240) – 24 = 216
jadi ketika 21/2 jam produksi maka akan menghasilkan 216 unit barang yang baik
CARA 2 ( bekerja mundur dengan perbandingan)
21/2 jam produksi = 150 menit
5 menit maka 8 barang
150 menit maka 240 barang 150/5 = 30 x 8 = 240
Setiap 10 barang maka 1 barang akan rusak
Jika 240 maka 24 barang yang rusak sehingga 240-24 =216
jadi ketika 21/2 jam produksi maka akan menghasilkan 216 unit barang yang baik
ketika siswa telah memahami materi yang di ajarkan tentang barisan bilangan
maka guru melanjutkan tentang barisan dan deret aritmatika
Barisan Dan Deret Aritmatika
barisan dan deret aritmatika adalah barisan yang memiliki selisih tetap dua suku berurutan
guru memberikan beberapa soal untuk mengetahui deret aritmatika
tentukan
Sebuah rak buku disusun pada rak pertama hanya bisa menapung 4 buku
Rak kedua dan sterusnya bisa menapung 5 buku lebih banyak dari rak buku diatasnya jika rak itu ada 4 rak maka jumlah buku yang ada pada rak itu adalah?
Di sebuah gedung serba guna terdapat 8 kursi pada baris pertama, pada baris ke dua dan selanjutnya mendapatkan penambahan 3 kursi lebih banyak dari beris di depannya.berapa jumlah kursi pada baris ke 15?
Rak ke Jumlah buku pada rak ke
1 4 = 4 = 4 + 5 (1-1)
2 4 + 5 = 9 = 4 + 5 (2-1)
3 4 + 5 + 5 = 14 = 4 + 5 (3-1)
4 4 + 5 + 5 + 5 = 20 = 4 + 5 (4-1)
Baris ke Banyak kursi pada baris ke
1 8 = 8 + 3(1-1)
2 8 + 3 = 11= 8 + 3( 2-1)
3 8 + 3 + 3 = 14 = 8 + 3(3-1)
4 8 + 3 + 3 + 3 = 17 = 8 + 3(4-1)
n 8 + 3 + 3 + 3 + ... + n = 8 + 3(n - 1)
Jadi jika pada baris ke 15 adalah adala
n= 15 8 + 3(15-1)= 8 + 3(14) = 8 + 42 = 50
jadi jumlah kursi pada baris ke-15 adalah 50
guru mengarakan siswa bahwa dari 2 pertanyaan itu ada kesamaan dalam mencari jumlah kursi pada baris ke n
guru memberikan pemisalan bahwa baris ke pertama misalkan a , hasil pengurangan antara baris pertama dengan baris kedua adalah b dan baris ke-n mempunyai nilai adalah a + b(n - 1)
jadi untuk suku ke-n (Un) dari barisan aritmatika dapat menggunakan
guru mengarakan siswa untuk mengetahui deret aritmatika
Kita misalkan jumlah n suku deret aritmatika adalah Sn
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n-1) + n = Sn
n + (n-1) + (n-2) + (n-3 ) + (n-4) + ... + 2 + 1 = Sn
(n+ 1)+(n+ 1)+(n+ 1) +(n+ 1) +(n+ 1)+ ...+ (n+ 1)+(n+ 1) = 2Sn
n(1+n)= 2Sn
Sn = 1/2n(1+ n) karena U1 =1 dan Un = n maka
Sn = 1/2n(U1 + Un) 1/2n( a+a+b(n-1)) 1/2n(2a+ b(n-1))
Jadi untuk menentukan jumlah n suku pertamadari deret aritmatika adalah dengan rumus
atau
Barisan dan deret geometri
Barisan gometri
Barisan gometri adalah barisan bilangan yang mempunyai perbandingan atau rasiao tetap untuk dua suku berurutan
Perbandingan atau rasio tiap suku dimisalkan r dan suku pertama di misalkan a
U1 = a = ar0 =ar1-1
U2= a x r = ar1 =ar2-1
U3 = a x r x r = ar2 = ar3-1
U4 = a x r x r x r = ar3 = ar4-1
Un =a x r x r x r x r x r x ... x r =arn-1
Jadi, untuk menetukan suku ke-n dari barisan geometri adalah
Deret geometri
Bila suku-suku goemetri di jumlahkan maka terbentuk deret geometri(Sn)
Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn-1 jika Sn x r maka
Sn r = ar1 + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn-1 + arn
Sn - Snr = a - arn
Sn (1-r) = (1- rn)a
Sn = (1(1-r^n)a)/(1-r)
Jika baris kedua di kurangkan dengan baris pertama maka
Snr - Sn = -a + arn
Sn (r-1) = arn – a
Sn (r-1) = a(rn- 1)
Sn = ((r^n-1)a)/(r-1)
Jadi rumus jumlah n suku deret gomeri adalah
Untuk r <1 dan r ≠ 1
Untuk r > 1 dan r ≠ 1
Untuk memahami materi oleh siswa maka guru memberikan dua soal
Contoh soal
(Soal olempiade hal 101 no 28 sedikit di modifikasi soalnya)
Tiga buah bilangan berurutan yang berjumlah 12 suku-suku deret arit matika.
Jika bilangan yang ketiga ditambah, maka diperoleh deret geometri. Berapa hasil kali ketiga bilangan tersebut?
Jawaban
Deret aritmatika u1 + u2 + u3 = 12
Misalkan u1 = a-b
U2 = a
U3 = a+b
u1 + u2 + u3 = 12
a-b + a+a+b =12
3a =12
a= 4
deret geomerti jika u3 + 2
sehingga a-b,a,a+b+2
4-b, 4 ,6+b
4/(4-b) = 4/(4-b)
4(4) = (6+b)(4-b)
16= 24 - 6b + 4b – b2
16 = 24 – 2b – b2
b2 + 2b – 8
(b + 4)(b - 2) = 0
b1 = -4 v b2 = 2
untuk b =-4, bilangannya adalah 0,4,8 maka hail kali ketiganya adalah
0 x 4 x 8 = 0
Untuk b=2 bilangannya adalah 2,4,6 maka hasil kaki ketigannya adalah 2 x 4 x 6 = 48
Jadi, hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 0 dan 8
Untuk mengetahui kemapuan siswa dalam memahami materi ini maka guru memberikan sebuah pertanyaan
Guru bertanya
(Soal olimpiade smp hal.102 no 34)
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2,8 meter. Setiap kali bola mamantul ketinggian yang dicapainya adalah 3/4 dari ketinggiansebelumnya. Hitunglah panjang seluruh lintasan bola sampai bola tidak memantul kembali.
Jawaban yang diharapkan :
Pantulan pertama : (3/4)1 cm
Pantulan kedua : (3/4)2 cm
Pantulan ke tiga : (3/4)3 cm
Jika dilihat maka akan berbentuk sebuah deret goemetri denganm suku awal adalah a = 3/4 dan rasiaonya adalah 3/4 dan n =5
Panjang seluru lintasan bola dijatukan pertama kali ditambah panjang lintasan ketika bola naik(S5) dan panjang lintasan ketika bola turun (S4)
Sn = (a(1-r^n))/(1-r)
S5 = (3/4 〖(1- 3/4)〗^5)/(1- 3/4) = (3/4 (1- 243/1024))/(1/4) = 3(781/1024) = 2342/1024 =2 294/1024
S4 = (3/4 〖(1- 3/4)〗^4)/(1- 3/4) = (3/4 (1- 81/1024))/(1/4) = 3(943/1024) = 2829/1024 =2 781/1024
Sehingga panjang seluruh lintasan bola sampai dengan lima pantulan pertama adalah
= 1 + S5 + S4 = 1+ 2342/1024 + 2829/1024 = 1+ 5171/1024 = 6 51/256
Jadi panjang lintasan bola itu bergelinding adalah 6 51/256
Konfirmasi
Untuk mengetahui kemampuan siswa maka guru memberikan sebuah soal untuk di kerjakan sebagai tugas
(Soal olimpiade hal 102 no 35 )
Perhatikan gambar
Pada gambar diatas A1 B1 C1 D1 adalah suatu persegi dengan panjang sisi 10cm. Titik-titik A2 B2 C2 D2 adalah titik tengah A1 B1 , B1 C1, C1 D1 , dan D1 A1 , sehingga A2 B2 C2 D2 membentuk persegi, demikian seterusnya, tentukan luas persegi ke 6 dari gambar diatas
Jawaban yang diharapkan
Luas persegi ke - Luas persegi(cm2) luas Gambar yang diarsir
1 10 = 10(1/2)0 = 10(1/2)1-1
2 5 = 10(1/2)1 = 10(1/2)2-1
3 2.5 = 10( 1/( 2) )2 = 10(1/2)3-1
4 1,25 = 10( 1/( 2) )3 = 10(1/2)4-1
n 10(1/2)n-1
Tanpa gambar
maka luas persegi ke-6 dari gambar tersebut adalah
luas persegi A6 B6 C6 D6 = 10(1/2)6-1 = 10( 1/( 2) )5 = 10( 1/( 32) ) = 0, 3125 cm2
Kegiatan penutup
Guru bersama-sama perserta didik merangkumkan apa yang telah didapat
Metode Pembelajaran
Tanya jawab, diskusi, dan pemberian tugas.
Sumber belajar
Buku Siap Juara Olimpiade Matematika SMP,
Alat
Papan tulis, spidol, kertas, buku, penggaris.
Penilaian
Guru melakukan penilaian terhadap keaktifan siswa dalam kelas selama pelajaran berlangsung, hasil kerja siswa
LAMPIRAN (soal-soal yang di sarankan pak untuk dikerjakan)
Dua buah unit mesin produksi mampu membuat 18 buah boneka selama 6 jam. Berapa lama sebuah unit mesin produksi untuk membuat 21 boneka?
Jawab:
Cara 1 memakai pola
2 unit memproduksi 18 boneka selama 6 jam berarti
1 unit memproduksi 9 boneka dalam 6 jam
Dalam tabel hanya satu unit yang di produksi boneka
Banyaknya jam produksi Banyaknya boneka
1 9/6
2 18/6
3 27/6
4 36/6
n 9/6 n
Sehingga
21 boneka = 9/6 n
n= 21.6/9
n= 126/9
n = 14 jam
jadi untuk 1 unit memproduksi 21 boneka membutukan waktu 14 jam
cara 2 memakai perbandingan
misalkan banyaknya jam kerja untuk memproduksi 21 boneka adalah x.
2 unit memproduksi 18 boneka selama 6 jam berarti
1 unit memproduksi 9 boneka dalam 6 jam
Maka 1 jam 1 unit memproduksi 9/6 boneka = 3/6
Maka
21/(3/2)=x/1
21 =3/2 x
42=3x
X=42/3=14
Jadi, lamanya sebuah unit mesin produksi untuk membuat 21 boneka adalah 14 jam.
Fadhil dibayar 18$ untuk satu hari kerja dan dienakan denda 3$ perhari jika tidak masuk kerja. Apaila pada akhir hai ke-30, fadhi menerima bers 414 $, berapa hari fadhil tidak masuk kerja
Jawaban
CARA 2 bekerja mundur
30 hari bekerja gaji faldri 540$
29 hari bekerja gaji faldri 519$(dipotong 3$)
28 hari bekerja gaji faldri 498$(dipotong 6$)
27 hari bekerja gaji faldri 477$(dipotong 9$)
26 hari bekerja gaji faldri 456$(dipotong 12$)
25 hari bekerja gaji faldri 435$(dipotong 15$)
26 hari bekerja gaji faldri 414$(dipotong18$)
Jadi total hari faldri tidak bekerja adalah 6 hari
Jamie dan Kevin berjalan dari rumah mereka Menuju taman dan kembali ke rumah tanpa berhenti. Jarak yang mereka tempuh adalah 24 km. jika Jamie berjalan dua kali lebih cepat dari Kevin dan keduanya berangkat dari rumah yang sama, hitunglah jarak dari rumah saat Jamie dan Kevin bertemu berpapasan pertama kali?
Jawab
memakai tabel
ket: jemi berjalan lebih 2 kali lebih cepat dari kevin
perjalan dari rumah mereka ke taman
Kevin(Km) Jemi(km)
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12 (jemi telah sampai ke taman dan akan balik ke rumah)
7 14
8 16 (jemi berpapasan dengan kevin pada jarak 8 km dari rumah mereka)
Kevin berpasan dengan jimi pada km 8 dari rumah mereka karena jarak yang ditempuh dari rumah ke taman dan balik ke rumah adalah 24 km
Sehingga 16km + 8 km = 24 km
Ketika jemie balik dari taman ke rumah
Ani, Btari, dan Cut Lisa bekerja bersama dan menerima gaji seluruhnya Rp2.620.000. Ani menerima 125% dari gaji Btari atau sama dengan 90% gaji Cut Lisa. Berapa gaji Cut Lisa?
Jawab:
Misalkan gaji Ani = a, gaji Btari = B, dan gaji Cut lisa= C.
Dimana gaji Ani 125% dari gaji Btari atau 90% dari gaji Cut lisa, yaitu
A = 125% B = 90% C sehingga
125/100 B=90/100 C
12500B=9000C
B=9000/12500 C
B=90/125 C
Jumlah seluruh gaji Ani, Btari, dan Cut Lisa adalah Rp2.620.000. sehingga gaji Cut Lisa dapat kita cari :
2.620.000=A+B+C
2.620.000= 9/10 C+90/125 C+C
2.620.000= (225 C+150 C+250 C)/250
2.620.000= 655/250 C
2.620.000=2,62 C
C=2.620.000/2,62
C=1.000.000
Jadi, besar gaji Cut Lisa adalah Rp1.000.000
Seekor ikan memiliki ekor sepanjang kepalanya ditambah seperempat panjang tubuhnya. Tubuhnya tiga per empat dari panjang keseluruhan. Jika panjang kepala ikan 10 cm, hitunglah panjang keseluruhan ikan!
Jawab:
Misalkan panjang seluruh ikan = S, badan ikan =B
Panjang kepala ikan = 10 cm
Panjang ekor ikan = 10 cm + 1/4 badan ikan
Badan ikan panjangnya = 3/4 dari panjang seluruh ikan
Sehingga panjang seluruh ikan dapat kita cari yaitu :
S = panjang kepala ikan + panjang ekor ikan + panjang badan ikan
S = 10 cm + (10 cm + 1/4 B) + B
S = 10 cm + 10 cm + 1/4 (3/4 S)+ 3/4 S
S = 20 cm + 15/16 S
20 cm = S -15/16 S
20 cm = 1/16 S
S = 20 cm x 16
S = 320 cm
Jadi, panjang keseluruhan ikan adalah 320 cm.
Satauan pendidikan :
Mata pelajaran : matamatika
Kelas /semester :
Standar kompetensi :
mamahami barisan dan deret bilangan serta penggunananya dalam masalah
Kompetensi dasar :
Menentukan pola barisan bilangan sederhana
Memcahkan masalah yang berkaitan dengan berisan dan deret
Indikator :
Mengidentifikasi dan menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan pola, barisan, deret aritmatika, dan deret geomtri
Materi pembelajaran
Barisan dan deret
Metode pembelajarn
Tanya jawab, diskusi dan pemberian tugas
Kegiatan pembelajaran
Kegiatan pendahuluan
Pada kegiatan ini guru memberitaukan tentang tujuan yang akan dicapai dalam kegiatan pembelajaran. Guru juga menceritakan tentang egitan sehari-hari yang berkaitan dengan barisan dan deret
Kegiatan inti
Eksplorasi
Guru memberikan sebuah masalah untuk diselesaikan oleh siswa untuk mengarakan siswa pada pokok bahasan yang akan dibahas
Guru bertanya :
Jika andi mempunyai satu helai kertas dan jika andi membagi menjadi 2 dan kedua kertas di gabung dan di potong menjadi 2 bagian dan digabungkan lagi berapa banyak potong kertas yang didapat oleh andi jika ia melakukan hal seperti selama 4 kali
Jawaban yang dharapkan
1 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 2 kertas
2 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 4 kertas
4 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 8 kertas
8 helai kertas jika dirobek maka akan menghasilkan 16 kertas
Berapa banyak kali andi melakukan
Merobek kertas Banyak kertas yang dihasilkan
1 2
2 4
3 8
4 16
Dari jawaban di atas guru mengarkan siswa kepada materi yang akan di ajarkan bahwa ada sesuatu yang menarik dari permasalahan diatas bahwa setiap kali andi merobek kertas akan mengasilkan kertas yang teratur seperti membentuk sebuah pola
Maka guru mengrakan siswa untuk bisa menemukan pola dari permasalahan diatas
Guru mengrakan dengan memberikan pengertian
Misalnya banyaknya kali andi merobek kertas = n
Maka
n = 1 2
n = 2 4
n = 3 8
n = 4 16
n = n 2n
Elaborasi
Guru memberikan sebuah materi yang diajarkan
Barisan bilangan
Misalnya :
3,5,7,9,11,…, n+2
2, 6, 12,20 , …,n + n2
Suku-suku bilangan : u1 , u2, u3, … merupakan barisan bilangan jika hubungan antar suku biangan yang berurutan memiliki pola tertentu
Contoh soal (soal-soal olimpiade matematika smp hal 98 no. 1 )
Seekor induk kanguru dan anaknya sedang melompat-lompat mengelilingi lapangan sapanjang 330 meter. Keduanya melompat setiap setiap detik, setiap melompat sejauh 5 meter sedangkan anaknya 2 meter. Kedua kanggru mulai melompat dari tempat dan arah yang sama . setelah 25 detik . anak kangru kelelahan dan berhenti sementara induk kanguru tatap menuruskan melompat , dari waktu ini, berapa lama induk kangru sampai kembali ketempat anaknya berhenti?
Jawaban
A = (induk kanguru) sekali lompatan 5 meter/s
B= (anak kanguru) sekali lompatan 2 meter/s
n = banyak lompatan
Panjang lapangan 330 meter
Sehingga pola yang dihasilkan waktu melompat sebagai berikut
A : 5,10,15,20,25,30,…,5n
B: 2,4,6,8,10,12,…,2n
Jika n = 25
Maka
A = 5.25=125 meter
B= 2.25 = 50 meter
Jika anak kanguru tidak melompat maka
125-50 = 75 meter, maka jarak antarandik dan anak kanguru 75 meter
Maka jika kanguru sampai ke anaknya berhenti adalah
Karena jarak lapangan adalah 330 meter maka jarak lopatan untuk samapi ke anakya adalah
330-75 = 255 meter
Karena pola melompat dari induk itu adalah 5n maka utuk mencari nilai n jika hasinya adalah 255 adalah
5n = 255
n =255/5
n = 51
jadi dibutukan waktu 51 detik untuk sampai ke anaknya yang kelelahan
untuk mengetahui sebarapa banyak siswa mengerti dengan materi yang diajarkan maka guru memberikan pertanyaan
Guru bertanya
(soal olimpiade matematika smp hal 99 no. 4)
sebuah mesin mampu memproksi 8 unit barang setiap 5 menit. Setiap 10 unit barang yang diproduksi terdapat 1 unit barang yang rusak. Berpakah unit barang yang diproduksi sebuah mesin selama 21/2 jam
Jawaban Yang Diharapkan
CARA 1 (memakai pola)
Jika ingin menemukan pola dari pertanyaan di atas adalah
Jika 5 menit = n = 1
Produksi barang = A
A = 8,15,22,29,…,8n ; syarat setiap bilangan yang diatas 10 harus dikurangkan dengan semua angka disebalah kiri angka terakhir
21/2 jam = 150 menit , maka n = 30
n = 30 8.30 =( 240) – 24 = 216
jadi ketika 21/2 jam produksi maka akan menghasilkan 216 unit barang yang baik
CARA 2 ( bekerja mundur dengan perbandingan)
21/2 jam produksi = 150 menit
5 menit maka 8 barang
150 menit maka 240 barang 150/5 = 30 x 8 = 240
Setiap 10 barang maka 1 barang akan rusak
Jika 240 maka 24 barang yang rusak sehingga 240-24 =216
jadi ketika 21/2 jam produksi maka akan menghasilkan 216 unit barang yang baik
ketika siswa telah memahami materi yang di ajarkan tentang barisan bilangan
maka guru melanjutkan tentang barisan dan deret aritmatika
Barisan Dan Deret Aritmatika
barisan dan deret aritmatika adalah barisan yang memiliki selisih tetap dua suku berurutan
guru memberikan beberapa soal untuk mengetahui deret aritmatika
tentukan
Sebuah rak buku disusun pada rak pertama hanya bisa menapung 4 buku
Rak kedua dan sterusnya bisa menapung 5 buku lebih banyak dari rak buku diatasnya jika rak itu ada 4 rak maka jumlah buku yang ada pada rak itu adalah?
Di sebuah gedung serba guna terdapat 8 kursi pada baris pertama, pada baris ke dua dan selanjutnya mendapatkan penambahan 3 kursi lebih banyak dari beris di depannya.berapa jumlah kursi pada baris ke 15?
Rak ke Jumlah buku pada rak ke
1 4 = 4 = 4 + 5 (1-1)
2 4 + 5 = 9 = 4 + 5 (2-1)
3 4 + 5 + 5 = 14 = 4 + 5 (3-1)
4 4 + 5 + 5 + 5 = 20 = 4 + 5 (4-1)
Baris ke Banyak kursi pada baris ke
1 8 = 8 + 3(1-1)
2 8 + 3 = 11= 8 + 3( 2-1)
3 8 + 3 + 3 = 14 = 8 + 3(3-1)
4 8 + 3 + 3 + 3 = 17 = 8 + 3(4-1)
n 8 + 3 + 3 + 3 + ... + n = 8 + 3(n - 1)
Jadi jika pada baris ke 15 adalah adala
n= 15 8 + 3(15-1)= 8 + 3(14) = 8 + 42 = 50
jadi jumlah kursi pada baris ke-15 adalah 50
guru mengarakan siswa bahwa dari 2 pertanyaan itu ada kesamaan dalam mencari jumlah kursi pada baris ke n
guru memberikan pemisalan bahwa baris ke pertama misalkan a , hasil pengurangan antara baris pertama dengan baris kedua adalah b dan baris ke-n mempunyai nilai adalah a + b(n - 1)
jadi untuk suku ke-n (Un) dari barisan aritmatika dapat menggunakan
guru mengarakan siswa untuk mengetahui deret aritmatika
Kita misalkan jumlah n suku deret aritmatika adalah Sn
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n-1) + n = Sn
n + (n-1) + (n-2) + (n-3 ) + (n-4) + ... + 2 + 1 = Sn
(n+ 1)+(n+ 1)+(n+ 1) +(n+ 1) +(n+ 1)+ ...+ (n+ 1)+(n+ 1) = 2Sn
n(1+n)= 2Sn
Sn = 1/2n(1+ n) karena U1 =1 dan Un = n maka
Sn = 1/2n(U1 + Un) 1/2n( a+a+b(n-1)) 1/2n(2a+ b(n-1))
Jadi untuk menentukan jumlah n suku pertamadari deret aritmatika adalah dengan rumus
atau
Barisan dan deret geometri
Barisan gometri
Barisan gometri adalah barisan bilangan yang mempunyai perbandingan atau rasiao tetap untuk dua suku berurutan
Perbandingan atau rasio tiap suku dimisalkan r dan suku pertama di misalkan a
U1 = a = ar0 =ar1-1
U2= a x r = ar1 =ar2-1
U3 = a x r x r = ar2 = ar3-1
U4 = a x r x r x r = ar3 = ar4-1
Un =a x r x r x r x r x r x ... x r =arn-1
Jadi, untuk menetukan suku ke-n dari barisan geometri adalah
Deret geometri
Bila suku-suku goemetri di jumlahkan maka terbentuk deret geometri(Sn)
Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn-1 jika Sn x r maka
Sn r = ar1 + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn-1 + arn
Sn - Snr = a - arn
Sn (1-r) = (1- rn)a
Sn = (1(1-r^n)a)/(1-r)
Jika baris kedua di kurangkan dengan baris pertama maka
Snr - Sn = -a + arn
Sn (r-1) = arn – a
Sn (r-1) = a(rn- 1)
Sn = ((r^n-1)a)/(r-1)
Jadi rumus jumlah n suku deret gomeri adalah
Untuk r <1 dan r ≠ 1
Untuk r > 1 dan r ≠ 1
Untuk memahami materi oleh siswa maka guru memberikan dua soal
Contoh soal
(Soal olempiade hal 101 no 28 sedikit di modifikasi soalnya)
Tiga buah bilangan berurutan yang berjumlah 12 suku-suku deret arit matika.
Jika bilangan yang ketiga ditambah, maka diperoleh deret geometri. Berapa hasil kali ketiga bilangan tersebut?
Jawaban
Deret aritmatika u1 + u2 + u3 = 12
Misalkan u1 = a-b
U2 = a
U3 = a+b
u1 + u2 + u3 = 12
a-b + a+a+b =12
3a =12
a= 4
deret geomerti jika u3 + 2
sehingga a-b,a,a+b+2
4-b, 4 ,6+b
4/(4-b) = 4/(4-b)
4(4) = (6+b)(4-b)
16= 24 - 6b + 4b – b2
16 = 24 – 2b – b2
b2 + 2b – 8
(b + 4)(b - 2) = 0
b1 = -4 v b2 = 2
untuk b =-4, bilangannya adalah 0,4,8 maka hail kali ketiganya adalah
0 x 4 x 8 = 0
Untuk b=2 bilangannya adalah 2,4,6 maka hasil kaki ketigannya adalah 2 x 4 x 6 = 48
Jadi, hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 0 dan 8
Untuk mengetahui kemapuan siswa dalam memahami materi ini maka guru memberikan sebuah pertanyaan
Guru bertanya
(Soal olimpiade smp hal.102 no 34)
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2,8 meter. Setiap kali bola mamantul ketinggian yang dicapainya adalah 3/4 dari ketinggiansebelumnya. Hitunglah panjang seluruh lintasan bola sampai bola tidak memantul kembali.
Jawaban yang diharapkan :
Pantulan pertama : (3/4)1 cm
Pantulan kedua : (3/4)2 cm
Pantulan ke tiga : (3/4)3 cm
Jika dilihat maka akan berbentuk sebuah deret goemetri denganm suku awal adalah a = 3/4 dan rasiaonya adalah 3/4 dan n =5
Panjang seluru lintasan bola dijatukan pertama kali ditambah panjang lintasan ketika bola naik(S5) dan panjang lintasan ketika bola turun (S4)
Sn = (a(1-r^n))/(1-r)
S5 = (3/4 〖(1- 3/4)〗^5)/(1- 3/4) = (3/4 (1- 243/1024))/(1/4) = 3(781/1024) = 2342/1024 =2 294/1024
S4 = (3/4 〖(1- 3/4)〗^4)/(1- 3/4) = (3/4 (1- 81/1024))/(1/4) = 3(943/1024) = 2829/1024 =2 781/1024
Sehingga panjang seluruh lintasan bola sampai dengan lima pantulan pertama adalah
= 1 + S5 + S4 = 1+ 2342/1024 + 2829/1024 = 1+ 5171/1024 = 6 51/256
Jadi panjang lintasan bola itu bergelinding adalah 6 51/256
Konfirmasi
Untuk mengetahui kemampuan siswa maka guru memberikan sebuah soal untuk di kerjakan sebagai tugas
(Soal olimpiade hal 102 no 35 )
Perhatikan gambar
Pada gambar diatas A1 B1 C1 D1 adalah suatu persegi dengan panjang sisi 10cm. Titik-titik A2 B2 C2 D2 adalah titik tengah A1 B1 , B1 C1, C1 D1 , dan D1 A1 , sehingga A2 B2 C2 D2 membentuk persegi, demikian seterusnya, tentukan luas persegi ke 6 dari gambar diatas
Jawaban yang diharapkan
Luas persegi ke - Luas persegi(cm2) luas Gambar yang diarsir
1 10 = 10(1/2)0 = 10(1/2)1-1
2 5 = 10(1/2)1 = 10(1/2)2-1
3 2.5 = 10( 1/( 2) )2 = 10(1/2)3-1
4 1,25 = 10( 1/( 2) )3 = 10(1/2)4-1
n 10(1/2)n-1
Tanpa gambar
maka luas persegi ke-6 dari gambar tersebut adalah
luas persegi A6 B6 C6 D6 = 10(1/2)6-1 = 10( 1/( 2) )5 = 10( 1/( 32) ) = 0, 3125 cm2
Kegiatan penutup
Guru bersama-sama perserta didik merangkumkan apa yang telah didapat
Metode Pembelajaran
Tanya jawab, diskusi, dan pemberian tugas.
Sumber belajar
Buku Siap Juara Olimpiade Matematika SMP,
Alat
Papan tulis, spidol, kertas, buku, penggaris.
Penilaian
Guru melakukan penilaian terhadap keaktifan siswa dalam kelas selama pelajaran berlangsung, hasil kerja siswa
LAMPIRAN (soal-soal yang di sarankan pak untuk dikerjakan)
Dua buah unit mesin produksi mampu membuat 18 buah boneka selama 6 jam. Berapa lama sebuah unit mesin produksi untuk membuat 21 boneka?
Jawab:
Cara 1 memakai pola
2 unit memproduksi 18 boneka selama 6 jam berarti
1 unit memproduksi 9 boneka dalam 6 jam
Dalam tabel hanya satu unit yang di produksi boneka
Banyaknya jam produksi Banyaknya boneka
1 9/6
2 18/6
3 27/6
4 36/6
n 9/6 n
Sehingga
21 boneka = 9/6 n
n= 21.6/9
n= 126/9
n = 14 jam
jadi untuk 1 unit memproduksi 21 boneka membutukan waktu 14 jam
cara 2 memakai perbandingan
misalkan banyaknya jam kerja untuk memproduksi 21 boneka adalah x.
2 unit memproduksi 18 boneka selama 6 jam berarti
1 unit memproduksi 9 boneka dalam 6 jam
Maka 1 jam 1 unit memproduksi 9/6 boneka = 3/6
Maka
21/(3/2)=x/1
21 =3/2 x
42=3x
X=42/3=14
Jadi, lamanya sebuah unit mesin produksi untuk membuat 21 boneka adalah 14 jam.
Fadhil dibayar 18$ untuk satu hari kerja dan dienakan denda 3$ perhari jika tidak masuk kerja. Apaila pada akhir hai ke-30, fadhi menerima bers 414 $, berapa hari fadhil tidak masuk kerja
Jawaban
CARA 2 bekerja mundur
30 hari bekerja gaji faldri 540$
29 hari bekerja gaji faldri 519$(dipotong 3$)
28 hari bekerja gaji faldri 498$(dipotong 6$)
27 hari bekerja gaji faldri 477$(dipotong 9$)
26 hari bekerja gaji faldri 456$(dipotong 12$)
25 hari bekerja gaji faldri 435$(dipotong 15$)
26 hari bekerja gaji faldri 414$(dipotong18$)
Jadi total hari faldri tidak bekerja adalah 6 hari
Jamie dan Kevin berjalan dari rumah mereka Menuju taman dan kembali ke rumah tanpa berhenti. Jarak yang mereka tempuh adalah 24 km. jika Jamie berjalan dua kali lebih cepat dari Kevin dan keduanya berangkat dari rumah yang sama, hitunglah jarak dari rumah saat Jamie dan Kevin bertemu berpapasan pertama kali?
Jawab
memakai tabel
ket: jemi berjalan lebih 2 kali lebih cepat dari kevin
perjalan dari rumah mereka ke taman
Kevin(Km) Jemi(km)
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12 (jemi telah sampai ke taman dan akan balik ke rumah)
7 14
8 16 (jemi berpapasan dengan kevin pada jarak 8 km dari rumah mereka)
Kevin berpasan dengan jimi pada km 8 dari rumah mereka karena jarak yang ditempuh dari rumah ke taman dan balik ke rumah adalah 24 km
Sehingga 16km + 8 km = 24 km
Ketika jemie balik dari taman ke rumah
Ani, Btari, dan Cut Lisa bekerja bersama dan menerima gaji seluruhnya Rp2.620.000. Ani menerima 125% dari gaji Btari atau sama dengan 90% gaji Cut Lisa. Berapa gaji Cut Lisa?
Jawab:
Misalkan gaji Ani = a, gaji Btari = B, dan gaji Cut lisa= C.
Dimana gaji Ani 125% dari gaji Btari atau 90% dari gaji Cut lisa, yaitu
A = 125% B = 90% C sehingga
125/100 B=90/100 C
12500B=9000C
B=9000/12500 C
B=90/125 C
Jumlah seluruh gaji Ani, Btari, dan Cut Lisa adalah Rp2.620.000. sehingga gaji Cut Lisa dapat kita cari :
2.620.000=A+B+C
2.620.000= 9/10 C+90/125 C+C
2.620.000= (225 C+150 C+250 C)/250
2.620.000= 655/250 C
2.620.000=2,62 C
C=2.620.000/2,62
C=1.000.000
Jadi, besar gaji Cut Lisa adalah Rp1.000.000
Seekor ikan memiliki ekor sepanjang kepalanya ditambah seperempat panjang tubuhnya. Tubuhnya tiga per empat dari panjang keseluruhan. Jika panjang kepala ikan 10 cm, hitunglah panjang keseluruhan ikan!
Jawab:
Misalkan panjang seluruh ikan = S, badan ikan =B
Panjang kepala ikan = 10 cm
Panjang ekor ikan = 10 cm + 1/4 badan ikan
Badan ikan panjangnya = 3/4 dari panjang seluruh ikan
Sehingga panjang seluruh ikan dapat kita cari yaitu :
S = panjang kepala ikan + panjang ekor ikan + panjang badan ikan
S = 10 cm + (10 cm + 1/4 B) + B
S = 10 cm + 10 cm + 1/4 (3/4 S)+ 3/4 S
S = 20 cm + 15/16 S
20 cm = S -15/16 S
20 cm = 1/16 S
S = 20 cm x 16
S = 320 cm
Jadi, panjang keseluruhan ikan adalah 320 cm.
Langganan:
Postingan (Atom)